% Nr. 1) Spalten und Zeilen einer Matrix, Matrizen kombinieren
% a) Bestimmen Sie die 2. Spalte der Matrix Aa
Aa=[ 1 3 -1 ; 2 0 1 ; 3 3 0  ] ; bb=[ -1 -3 -4]' 
Aa(:,2 )
%      3
%      0
%      3

% b) Sei Aa die Koeffizientenmatrix und bb die Inhomogenität. Bestimmen Sie
% Aae, die erweiterete Koefffizientenmatrix
 Aae=[ Aa , bb]
% Aae = 1     3    -1    -1
%      2     0     1    -3
%      3     3     0    -4

% c) Geben Sie die erste Spalte, die 3. Zeile und die letzte Spalte der
% Matrix Bb an. 
Bb=[ 1  4  3 5  1 ; 
     4  2  1 3  5;
     2  4  2 5  1;
     3  4  5 1  4;
     1  4  1 3  5];
 Bb( :,1)
%      1
%      4
%      2
%      3
%      1
Bb( 3,:)
%     2     4     2     5     1
Bb( :,end)
%      1
%      5
%      1
%      4
%      5

 
% Nr. 2) Spalten und Zeilen einer Matrix, Matrizen kombinieren
% a) Bestimmen Sie die 2. Zeile der Matrix Aa
Aa=[3 1 3; 1 3 1;2 2 1 ] ; bb=[ 4 -3  1]' 
% b) Sei Aa die Koeffizientenmatrix und bb die Inhomogenität. Bestimmen Sie
% Aae, die erweiterete Koefffizientenmatrix
 Aae=[ Aa , bb]
% Aae = 3     1     3     4
%      1     3     1    -3
%      2     2     1     1

% c) Geben Sie die erste Zeile, die 4. Spalte und die letzte Zeile der
% Matrix Bb an. 
Bb=[  1     1     3     2     3
     1     5     1     3     3
     5     4     2     1     2
     3     2     1     5     5
     3     3     1     5     2];
Bb(1,:)
% 1     1     3     2     3
 Bb(:,4)
%      2
%      3
%      1
%      5
%      5
Bb(end,:)
%     3     3     1     5     2

 
% Nr. 3) Rang einer Matrix: rank & rref
% Bestimmen Sie den Rang der Matrizen
Aa=[  1     1     3     2     3
     1     5     1     3     3
     5     4     2     1     2
     3     2     1     5     5
     3     3     1     5     2] ;
 
 Bb= [  32    31    15    25    25
    28    44    13    34    35
    19    16     7    13    11
    18    17     6    26    10
    47    60    20    47    46 ];

Cc=[24    36    22    34    23
    37    34    30    33    32
    12    21    11    20    10
    17    20    10    24     9
    49    55    41    53    42] ;
% a) mit dem Befehl rank
rank(Aa)
% 5
rank(Bb)
% 4
rank(Cc)
% 4
% b) indem Sie die Matrix auf Zeilenstufenform bringen 
 Aas=rref(Aa)
%      1     0     0     0     0
%      0     1     0     0     0
%      0     0     1     0     0
%      0     0     0     1     0
%      0     0     0     0     1
% 5 Zeilen /= 0 => Rang(Aa)=5

Bbs=rref(Bb)
%     1.0000         0         0         0   -0.4545
%          0    1.0000         0         0    0.8561
%          0         0    1.0000         0    1.0309
%          0         0         0    1.0000   -0.0984
%          0         0         0         0         0
% 4 Zeilen /= 0 => Rang(Bb)=4

Ccs=rref(Cc)
%     1.0000         0         0         0   -3.3043
%          0    1.0000         0         0   -4.6739
%          0         0    1.0000         0    5.8478
%          0         0         0    1.0000    4.1739
%          0         0         0         0         0
% 4 Zeilen /= 0 => Rang(Cc)=4

% c) Geben Sie eine Linear-Kombination der Zeilen an, die den 
%  Nullvektor erggibt (rref, eye)
Bbee=[ Bb, eye(5) ]
%Bbee =
% a=    32    31    15    25    25     1     0     0     0     0
% b=    28    44    13    34    35     0     1     0     0     0
% c=    19    16     7    13    11     0     0     1     0     0
% d=    18    17     6    26    10     0     0     0     1     0
% e=    47    60    20    47    46     0     0     0     0     1
Bbees=rref(Bbee)
%     1.0000         0         0         0   -0.4545   -0.0977         0    0.2746   -0.0046   -0.0214
%          0    1.0000         0         0    0.8561   -0.0680         0    0.0020   -0.0580    0.0677
%          0         0    1.0000         0    1.0309    0.3719         0   -0.4403   -0.0048   -0.0734
%          0         0         0    1.0000   -0.0984    0.0263         0   -0.0898    0.0807   -0.0125
%          0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000         0   -1.0000
% Wir nennen die Zeilen der Matrix Bb: a, b c, d und e. Dann können wir
% schreiben 0*a + 1*b + 1*c + 0*d -1*e = 0
% In dieser Lösung sind nicht alle Koeffizienten ungleich 0, mindestens einer ist
% ungleich null. Damit ist die Bedingung für die lineare Abhängigkeit der
% Zeilen erfüllt. 
Ccees=rref([ Cc, eye(5) ])
%     1.0000         0         0         0   -3.3043   -1.8464         0    2.0928   -0.1652    0.4696
%          0    1.0000         0         0   -4.6739   -2.4884         0    3.1768   -0.4087    0.5826
%          0         0    1.0000         0    5.8478    2.5435         0   -3.0870    0.2174   -0.5652
%          0         0         0    1.0000    4.1739    2.3217         0   -2.8435    0.4087   -0.5826
%          0         0         0         0         0         0    1.0000    1.0000         0   -1.0000
% Wir nennen die Zeilen der Matrix Cc: a, b c, d und e. Dann können wir
% schreiben 0*a + 1*b + 1*c + 0*d -1*e = 0


% Nr. 4 Lösung in das lineare Gleichungssystem einsetzen, Skript BSP 8.1
% Überprüfen Sie, ob u=[5 2 1]' und v=[ 1 2 3 ] Lösungen der linearen 
% Gleichung x+2y-3z=6 sind.
Aa= [ 1 2 -3] 
bb=[ 6 ] 
u=[5 2 1]' ; v=[ 1 ; 2 ; 3 ]
Aa*u % u in Koeffizientenmatrix Aa einsetzen
% 6 links = 6 rechts => u ist eine Lösung
Aa*v
% -4 links = 6 rechts => v ist keine Löunsg 


% Nr. 5 Lösung in das lineare Gleichungssystem einsetzen, Skript BSP 8.2 500997
% a) Bestimmen Sie Koeffizientenmatrix und Inhomogenität des linearen 
%     Gleichungs-Systems.
% L1: x1+x2+4*x3+3*x4=5
% L2: 2*x1+3*x2+x3-2*x4=1
% L3: x1+2*x2-5*x3+4*x4=3
Aa=[ 1 1 4 3 ; 2 3 1 -2 ; 1 2 -5 4 ]; % Koeffizientenmatrix 
bb= [ 5 1 3]'; % Inhomogenität 
% b) Überprüfen Sie, ob u=[-10 5 1 2 ]' und v=[-8 6 1 1 ] Lösungen des LGS
% sind.
u=[-10 5 1 2 ]' ; v=[-8 6 1 1 ]';
Aa*u
%      5
%     -8
%      3
% /= bb d.h. linke Seite ist ungleich der Inhomogenität => u ist keine
% Lösung
Aa*v
%      5
%      1
%      3
% = bb d.h. linke Seite ist gleich der Inhomogenität => v ist keine
% Lösung

% c) Sind die Vektoren Lösungen der linearen Gleichung L2-L1-L3?
Nn=Aa(2,:)-Aa(1,:)-Aa(3,:)
%     0     0     2    -9
% Inhomogenität (rechts)
nb=bb(2)-bb(1)-bb(3)
%   -7
% Lösungen einsetzen in die neue Gleichung
Nn*v
%   -7 (linke Seite = rechte Seite) => v ist eine Lösung
% 
Nn*u
%  -16 (linke Seite /= rechte Seite) => u ist keine Lösung


% Nr. 6 Lösung eines inhomogenen LGS, Skript 371684 
% Es sei x=[ -2/3 2 0 0 ]'+ lambda * [ -1 0 -9 6]' + mu*[ 2 3 0 0] die
% Lösung des inhomogenen LGS mit Koeffizientenmatrix A und Inhomogenität b.
% a) Überprüfen Sie, ob die Richtungsvektoren das homogene Problem lösen.
Aa=[ 9 -6 -5 -6 ; 6 -4 8 13 ; 12 -8 -4 -4  ; 3 -2 3 5   ] ; bb= [ -16 12 -16 4];
% b) Überprüfen Sie, ob die Vektoren a=2* [ -1 0 -9 6]' und 
% b= 3*[ -1 0 -9 % 6]'-7*[ 2 3 0 0]' das homogene LGS lösen

% Nr. 7 Einsetzen in LGS in Zeilenstufenform, Skript BSP 8.4 959281
% Löse das LGS durch Einsetzen von unten nach oben: rref
% L1: 2*x1-3*x2+5*x3-2*x4=9
% L2:       +5*x2-x3-3*x4=1
% L3:             7*x3-x4=3
% L4:                2*x4=8


% Nr. 8 Lineare Gleichungssysteme mit Matlab
% Bestimme die Paramterform der Ebene -4y+3z=75
% a) Bestimmen Sie die Koeffizeitnenmatrix und die Inhomogenität
% b) Bestimmen Sie einen Aufpunkt: rref
% c) Prüfen Sie, ob der Aufpunkt in der Ebenen liegt
% d) Bestimmen Sie die Richtugnsvektoren der Ebene: null
% e) Schreiben Sie die vollständige Lösung des LGS auf (Paramter: la, nu): syms 


% Nr. 9 Lineare Gleichungssysteme mit Matlab
% Bestimmen die Schnittmenge der Ebenen E1: x+3y-z=-1 und E2: 2x+z=-3
% a) Bestimmen Sie die Koeffizeitnenmatrix und die Inhomogenität
% b) Bestimmen Sie einen Aufpunkt: rref
% c) Prüfen Sie, ob der Aufpunkt in beiden Ebenen liegt
% d) Bestimmen Sie die Richtugnsvektoren der Ebene: null( , 'r')
% e) Schreiben Sie die vollständige Lösung des LGS auf (Paramter: la): syms 


% Nr. 10 Lineare Gleichungssysteme mit Matlab
%Bestimmen die Schnittmenge der Ebenen E1: x+3y-z=-1, E2: 2y+z=2, E3: x+3y-2z=1
% a) Bestimmen Sie die Koeffizeitnenmatrix und die Inhomogenität
% b) Bestimmen Sie einen Aufpunkt: rref
% c) Prüfen Sie, ob der Aufpunkt in allen Ebenen liegt
% d) Schreiben Sie die vollständige Lösung des LGS auf 


% Nr. 11 Lineare Gleichungssysteme mit Matlab
% Bestimmen die Schnittmenge der Ebenen E1: x+3y-z=-1; 2x+z=-3 ; 3x+3y=-4 
% a) Bestimmen Sie die Koeffizeitnenmatrix und die Inhomogenität
% b) Bestimmen Sie einen Aufpunkt: rref
% c) Prüfen Sie, ob der Aufpunkt in beiden Ebenen liegt
% d) Bestimmen Sie die Richtugnsvektoren der Ebene: null( , 'r')
% e) Schreiben Sie die vollständige Lösung des LGS auf (Paramter: la): syms 
