% Aufg Lineare Abbildungen 
% a
La=@(x,y,z) [ z; - y + 2*y ;x+y]
% Vortest
La(0,0,0)
% 0
% 0
% 0
% Homogenität
syms x y z lam
collect(La(lam*x,lam*y,lam*z)-lam*La(x,y,z))
% 0 
% 0
% 0
% Additivität 
syms x y z u v w
collect(La(x+u, y+v, z+w)- (La(x,y,z)+La(u,v,w)) )
% 0 
% 0
% 0
% Matrix der Abbildung
Ma= [ La(1,0,0) La(0,1,0)  La(0,0,1)  ] 
% Ma = 0     0     1
%      0     1     0
%      1     1     0
  

% b
Lb=@(x,y ) [ sqrt(x* y) ;  y ]
% Vortest
Lb(0,0)
% 0
% 0
% Homogenität
syms x y z lam
collect(Lb(lam*x,lam*y)-lam*Lb(x,y))
% (lam^2*x*y)^(1/2) - lam*(x*y)^(1/2)
%                                    0
% Abbildung ist nicht homogen => nicht linear 


% Aufg  Lineares Gleichungssystem  815482 
%  -x+z+8 w=0 
%   x+y+z-w=0 
%   x-z+  v-10 w=0
% erwi
%     x  y  z  v  w | yi
Aa=[ -1  0  1  0  8   0  ; 
      1  1  1  0 -1   0  ; 
      1  0 -1  1 -10  0 ] ; 
 % homogenes LGS
 
Aa=[ -1  0  1  0  8   ; 
      1  1  1  0 -1    ; 
      1  0 -1  1 -10  ] ; 
Aas=rref(Aa)
%     1     0    -1     0    -8
%     0     1     2     0     7
%     0     0     0     1    -2
%    x , y und v Pivot-Variablen, => z w Freie Variablen
riv=null(Aas,'r')
% riv =1     8
%     -2    -7
%      1     0
%      0     2
%      0     1

% Lösung: 
%  x           1        8
%  y          -2       -7
%  z = la1    1  +la2  0
%  v          0        2
%  w          0        1


% Aufg Effiziente Berechnung der Determinante  020319 
Rr= [  1  2  3  4 ; 3  9  15  21 ; 1  3  5  12 ;  2  6  11   17  ]; 
rdet=det(Rr)
% -15 
 
% Aufg Matrix-Abbildung 
Aa= [ 2 -1 -1;0 sqrt(3) -sqrt(3)  ;sqrt(2)  sqrt(2)  sqrt(2)  ]
a1= Aa (:,1)
a2= Aa (:,2)
a3= Aa (:,3)
% a
n1=cross(a1,a2)
% b
n2=cross(a2,a3)
phi=acos(n1'*n2/(norm(n1)*norm(n2)))
% 1.5708
phid=radtodeg(phi) %
% 90°
% c
vol=abs(cross(a1,a2)'*a3)
% 14.6969

% Aufg Gleichungssystem 
% g Pp= [ -1; -1] ; Qq= [1 ;-2]
% k:   (-  5/ 2  + x)^2 + (1/2 + y)^2 = 25/2 
syms x y
los=solve(y==-1/2*x-3/2,(-5/2+ x)^2+(1/2+y)^2==25/2)
 los.x
 los.y
 los.x
 
 los.x
%    -1
%  21/5
%  
los.y
% -1
%  -18/5
% Schnittpunkte bei Pp=[ -1 ;-1] und Rr=[ 21/5 ; -18/5] ; 

% Aufg 
%
%  3v+ 4w+ 9x -1y-6z =-20
% 5v+ 2w+ 15x+ 3y+ 18z =4
% -2v+ 1w -6x +1y -2z = -52

aa=[ 13  -17  0  -9  0]';
bb=[ 11  -15  0  -13  1]';
cc=[ 10  -17  1  -9  0]';
dd=[1  -17  4  -9  4]';

% a  
%   v    w  x    y    z    | yi
Aa= [ 3   4  9   -1   -6    ; 
      5   2  15   3    18   ; 
     -2   1  -6    1  -2    ];
Bb= [-20;4;-52 ];

Aa*aa-Bb
%      0
%      0
%      0 => aa ist Lösung 

Aa*bb-Bb
%      0
%      0
%      0 => bb ist Lösung 
  
Aa*cc-Bb
%      0
%      0
%      0 => cc ist Lösung 

Aa*dd-Bb
%  -24
%   72
%   -8 => dd ist keine Lösung 

riv=null(Aa,'r')
   -3    -2
     0     2
     1     0
     0    -4
     0     1

% v   13      -3        -2
% w   -17      0         2
% x = 0   +la1 1 +la2    0
% y   -9       0        -4
% z   0        0         1

% alternativ
syms la1 la2 ; aa + riv(:,1)*la1+riv(:,2)*la2
% 13 - 2*la2 - 3*la1
%          2*la2 - 17
%                 la1
%         - 4*la2 - 9
%                 la2
 
%  