%% Test 1, Muster 2016:  Vektorgeometrie mit Matlab
 
% Nr. 1, Orthonormalbasis
% Die Vektoren a und b stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge 1.
% Bestimmen Sie den Vektor c, der ebenfalls die Länge 1 hat, 
% senkrecht auf a und b steht und mit a und b ein Rechtssystem erzeugt.
aa=[ 3,4,0]'*1/5 ; bb=[ 0 0 1]'; 
cc=cross(aa,bb)
% cc = 0.8000
%    -0.6000
%          0
 
% Nr. 2 Spurpunkte 
% Bestimmen Sie ALLE Spurpunkte der Geraden A+ lambda* v
Aa=[  1,3,3]'; vv=[ 1,1,-3]'
syms la 
gg= Aa+ la *vv
%  la + 1
%    la + 3
%  3 - 3*la

solve(la + 1==0,la)
% -1
Ss1=Aa+(-1)*vv
%      0
%      2
%      6

solve( la + 3==0,la)
% -3
Ss2=Aa+(-3)*vv
%   -2
%    0 
%   12

solve(3 - 3*la==0,la)
% 1
Ss3=Aa+(1)*vv
% Ss3  2
%      4
%      0

% Spieglung an der xy-Ebene: z-Komponente ändert das Vorzeichen
%   -2
%    0  
%   12
%  wird zu 
%   -2
%    0  
%   -12
 
% Nr. 3 Schnittpunkt von zwei Geraden 2D 
%Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes S der Geraden h (Steigung m =-1, 
% y-Achsenabschnitt c = 2) und g: x = [2 1] + lamda *[1 0]
Aae=[  1 -1 2 ; -1 0 -1 ]
los=rref(Aae)
% los =1     0     1
%      0     1    -1
 % mu= 1; lambda= (-1)
Ss=[2 1] + (-1) *[1 0]
% [ 1 1]

%Alternativ:
syms lambda mu
[2 1] + lambda *[1 0] -( [ 0  2 ] +mu* [ 1 -1] )
% [ lambda - mu + 2, mu]
Slos=solve(lambda - mu + 2==0, mu-1==0, [ mu,lambda] )
Slos.mu
Slos.lambda

% Nr. 4 Lot und Projektion
% a) Berechnen Sie die Projektion des Vektors b auf die Vektoren f1, f2 und f3. 
 f1= [ 0 ; 1 ; 1] ; f2= [ 0 ; -1 ; 1]; f3=[1 ; 0 ; 0]; b=[9 6 -4]'; 
 p1= b'*f1/norm(f1).^2*f1
 p2= b'*f2/norm(f2).^2*f2
 p3= b'*f3/norm(f3).^2*f3
%      9
%      0
%      0
% b) Wir nennen die Projektion p1, p2 und p3. Berechnen Sie p1+p2+p3. Was
%    stellen Sie fest?
p1+p2+p3
%    9.0000
%     6.0000
%    -4.0000
% c) Interpretieren Sie das Resultat aus b)
[ f1'*f2 f1'*f3 f2'*f3 ]
% Die Vektoren f1, f2, f3 stehen senkrecht aufeinander. 
% Deshalb kann b zerlegt werden in Komponenten entlang f1,..,f3
% p1+p2+p3=b


% Nr. 5 Vektorprodukt 
% a) Bestimmen Sie den Abstand der Gerade durch A und D zum Punkt C
AA=[0 0 0]'; BB=[5 5 1]'; CC=[0 3 0]'; DD= [2.5 2.5 5]';
vv= DD-AA;
hh=norm(cross(vv,(AA-CC)))/norm(vv)
% 2.7386
% Länge eines Vektors berechnen mit norm
% b) Bestimmen Sie die Fläche des Parallelogramms aufgespannt durch 
% v=C-A und w=D-A
vv=CC-AA ; ww=DD-AA;
Flache=norm(cross(vv,ww))
% 16.7705

% Nr. 6 Ebenengleichung 
% Eine Ebene E enthalt die Punkte P, Q und R . 
% Berechne die Ebenengleichung in Normalenform, in Koordinatenform und die 
% Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
Pp = [5; 2;-78];  Qq = [-5; 1;-102] ; Rr = [35; 3;-6];
% 
vv=Qq-Pp
ww=Qq-Rr
ns=cross(vv,ww)
% ns =
%     48
%      0
%    -20
%  Normelenform: ((x,y,z)- [5; 2;-78])'*ns=0
syms x y z 
([x,y,z]'- [5; 2;-78])'*ns
% Koordinatenform: 48*x - 20*z - 1800 = 0
% Schnittpkt mit der x-Achse
solve( 48*x - 20*0 - 1800 == 0,x) 
ssx=[ 75/2, 0 , 0]'
%
solve( 48*0 - 20*z - 1800 == 0,z) 
ssz=[ 0,0,-90]'
% Kein Schnittpunkt mit der y-Achse